函数的连续性

在极限章，我们只关心 $f$ 在 $x_0$ 附近（去心邻域）的行为，刻意回避 $x_0$ 本身的取值。连续性则把两件事拼在一起：$f$ 在 $x_0$ 处有定义，且 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 存在并等于 $f(x_0)$。用一句话说：函数在 $x_0$ 处连续，就是「极限等于函数值」。三者缺一不可——若极限不存在、函数无定义，或极限与函数值不等，则在该点不连续。

等价的 ε-δ 表述是：对任给 $\varepsilon>0$ 存在 $\delta>0$，使 $|x-x_0|<\delta$ 时（注意这里不再排除 $x_0$，因为 $|f(x_0)-f(x_0)|=0<\varepsilon$ 自动成立）有 $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$。与极限定义相比，关键差别是去心邻域 $0<|x-x_0|<\delta$ 换成了普通邻域 $|x-x_0|<\delta$，从而把 $x_0$ 本身纳入考察范围。几何上，连续意味着图像在 $x_0$ 处没有「断裂」：曲线穿过该点，且该点的纵坐标就是极限值。

还有一个等价的「增量」表述：令 $\Delta x=x-x_0$，$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$，则连续等价于 $\lim_{\Delta x\to 0}\Delta y=0$，即自变量的微小变化只引起函数值的微小变化。典型例子：$f(x)=x^2$ 在任意 $x_0$ 处连续，因 $\lim_{x\to x_0}x^2=x_0^2=f(x_0)$；而 $g(x)=\begin{cases}1, & x\ne 0\\0, & x=0\end{cases}$ 在 $x=0$ 不连续，因极限为 $1$ 而 $g(0)=0$。