数学分析

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第 6 章草稿

微分中值定理及其应用

本章以可导函数的性质分析为主线。先通过 Fermat 引理建立极值的必要条件，进而证明 Rolle 定理，再推广为 Lagrange 中值定理与 Cauchy 中值定理。这三个定理统称微分中值定理，是连接导数与函数整体行为的桥梁。在应用层面：用 L'Hôpital 法则化解不定式极限；用 Taylor 公式把函数展开为多项式加余项，给出精确的局部近似；用导数符号分析函数单调性、极值、凹凸性与拐点。讲义、例子与题面均为自编或充分改写，公式用 LaTeX（四反斜线约定）。

5 个知识点

当前知识点

Rolle 定理与 Lagrange 中值定理

本节你将掌握

  • 理解 Fermat 引理：可导极值点处导数为零。
  • 掌握 Rolle 定理的条件（[a,b][a,b] 连续，(a,b)(a,b) 可导，f(a)=f(b)f(a)=f(b)）与结论。
  • 掌握 Lagrange 中值定理：f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)（ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)）。
  • 理解 Lagrange 定理是导数与函数增量关系的精确陈述，能用它证明函数恒等或估算误差。
**Fermat 引理**：若 ff 在 x0x_0 的某邻域内有定义，x0x_0 是 ff 的极值点（极大或极小），且 ff 在 x0x_0 可导，则 f′(x0)=0f'(x_0)=0。直觉：极值点是」转折处」，切线必然水平。**Rolle 定理**（Fermat 推广）：若 ff 在 [a,b][a,b] 连续，在 (a,b)(a,b) 可导，且 f(a)=f(b)f(a)=f(b)，则 ∃ ξ∈(a,b)\exists\,\xi\in(a,b) 使 f′(ξ)=0f'(\xi)=0。证明：ff 在 [a,b][a,b] 上取到最大值和最小值（最值定理）；若两者相等则 ff 恒为常数，导数恒为零；若不等则必有一个在内点取到，由 Fermat 引理，该内点处导数为零。**Lagrange 中值定理**：去掉 f(a)=f(b)f(a)=f(b) 的假设，引入辅助线段，令 g(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−a(x−a)−f(a)g(x)=f(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-f(a)（几何上是把割线」减掉」），则 gg 满足 Rolle 定理条件，故 g′(ξ)=0g'(\xi)=0，即 f′(ξ)=f(b)−f(a)b−af'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}，等价于 f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)。实际上这说明区间上的」平均变化率」等于某点的」瞬时变化率」。

练习

2 题
未学