数学分析

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第 10 章草稿

定积分的应用

3 个知识点

当前知识点

平面图形的面积

本节你将掌握

  • 熟练计算直角坐标系中由曲线围成的平面图形面积
  • 掌握参数方程给出曲线时的面积计算方法
  • 掌握极坐标下平面图形（扇形元素）的面积公式
**直角坐标下面积**：曲线 y=f(x)y=f(x)、y=g(x)y=g(x)（f≥gf\geq g）在 [a,b][a,b] 上围成图形的面积：
A=∫ab[f(x)−g(x)] dx.A=\int_a^b[f(x)-g(x)]\,\mathrm{d}x.

若图形关于 yy 轴方向更自然（左右曲线 x=φ(y)x=\varphi(y)，x=ψ(y)x=\psi(y)），用：A=∫cd[φ(y)−ψ(y)] dyA=\int_c^d[\varphi(y)-\psi(y)]\,\mathrm{d}y。
**参数方程下面积**：曲线 x=φ(t)x=\varphi(t)，y=ψ(t)y=\psi(t)，t∈[α,β]t\in[\alpha,\beta]（φ\varphi 单调，φ(α)=a\varphi(\alpha)=a，φ(β)=b\varphi(\beta)=b），与 xx 轴围成面积：
A=∫αβ∣ψ(t)∣⋅∣φ′(t)∣ dt.A=\int_\alpha^\beta|\psi(t)|\cdot|\varphi'(t)|\,\mathrm{d}t.

典型例子：椭圆 x=acos⁡tx=a\cos t，y=bsin⁡ty=b\sin t 的面积 =4∫0π/2bsin⁡t⋅asin⁡t dt=πab=4\int_0^{\pi/2}b\sin t\cdot a\sin t\,\mathrm{d}t=\pi ab。
**极坐标下面积**：曲线 r=r(θ)r=r(\theta)，θ∈[α,β]\theta\in[\alpha,\beta] 与极点围成的扇形面积微元为 12r2 dθ\frac{1}{2}r^2\,\mathrm{d}\theta，故
A=12∫αβr2(θ) dθ.A=\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2(\theta)\,\mathrm{d}\theta.

典型例子：心形线 r=a(1+cos⁡θ)r=a(1+\cos\theta) 的面积 =12∫02πa2(1+cos⁡θ)2 dθ=3πa22=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}a^2(1+\cos\theta)^2\,\mathrm{d}\theta=\frac{3\pi a^2}{2}。

练习

3 题
未学