第 19 章草稿

含参量积分

3 个知识点

当前知识点

含参量正常积分

本节你将掌握

掌握含参量正常积分的连续性、可微性和可积性
能在积分号下求导（Leibniz 法则）
掌握含参量积分的变限情形（上下限也依赖参数）

**含参量正常积分**：

I(\alpha)=\int_a^b f(x,\alpha)\,\mathrm{d}x

（

\alpha

为参数，

a,b

固定）。
**连续性**：若

f(x,\alpha)

在

[a,b]\times[\alpha_1,\alpha_2]

上连续，则

I(\alpha)

在

[\alpha_1,\alpha_2]

上连续（可将

\lim

移入积分）。
**可微性（Leibniz 积分法则）**：若

f,f_\alpha

在

[a,b]\times[\alpha_1,\alpha_2]

上连续，则

I(\alpha)

可微且

I'(\alpha)=\int_a^b f_\alpha(x,\alpha)\,\mathrm{d}x.

（积分号下求导：直接对参数

\alpha

求导移入积分。）
**可积性**：

I(\alpha)

在

[\alpha_1,\alpha_2]

上可积，且可交换积分顺序：

\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}I(\alpha)\,\mathrm{d}\alpha=\int_a^b\,\mathrm{d}x\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}f(x,\alpha)\,\mathrm{d}\alpha

（Fubini 定理，正常积分情形）。
**变上限情形**：

I(\alpha)=\int_a^{\varphi(\alpha)}f(x,\alpha)\,\mathrm{d}x

，则

I'(\alpha)=f(\varphi(\alpha),\alpha)\varphi'(\alpha)+\int_a^{\varphi(\alpha)}f_\alpha(x,\alpha)\,\mathrm{d}x

。

练习

2 题

未学