数学分析

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第 12 章草稿

数项级数

3 个知识点

当前知识点

数项级数的概念与基本性质

本节你将掌握

  • 掌握级数的定义（部分和数列的极限）
  • 理解级数收敛的充要条件（Cauchy 准则）
  • 掌握级数收敛的必要条件（通项趋零）
  • 了解级数的线性性质与去有限项不影响收敛性
**定义**：给定数列 {an}\{a_n\}，称 ∑n=1∞an=a1+a2+⋯\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+\cdots 为**无穷级数**，前 nn 项和 Sn=∑k=1nakS_n=\sum_{k=1}^n a_k 为**部分和**。若 lim⁡n→∞Sn=S\lim_{n\to\infty}S_n=S（有限），则称级数**收敛**，SS 为其和；否则称**发散**。
**收敛必要条件**：∑an\sum a_n 收敛 ⇒\Rightarrow lim⁡n→∞an=0\lim_{n\to\infty}a_n=0（逆命题不成立：调和级数 ∑1/n\sum 1/n 的通项趋零但发散）。
**Cauchy 准则**：∑an\sum a_n 收敛 ⇔\Leftrightarrow 对任意 ε>0\varepsilon>0，∃N\exists N，∀m>n>N\forall m>n>N：∣an+1+⋯+am∣<ε|a_{n+1}+\cdots+a_m|<\varepsilon。
**基本性质**：
1. 线性性：若 ∑an=A\sum a_n=A，∑bn=B\sum b_n=B，则 ∑(αan+βbn)=αA+βB\sum(\alpha a_n+\beta b_n)=\alpha A+\beta B。
2. 改变有限项：不影响级数的收敛性（但改变和值）。
3. 加括号：收敛级数加括号后仍收敛，和不变。反之不成立（(1−1)+(1−1)+⋯=0(1-1)+(1-1)+\cdots=0 但 1−1+1−1+⋯1-1+1-1+\cdots 发散）。
**典型级数**：
- 等比级数 ∑n=0∞qn=11−q\sum_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q}（∣q∣<1|q|<1 收敛，∣q∣≥1|q|\geq 1 发散）
- 调和级数 ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} 发散（分组：12+13+14>12\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>\frac{1}{2}，15+⋯+18>12\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}>\frac{1}{2}，……）
- pp 级数 ∑n=1∞1np\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}：p>1p>1 收敛，p≤1p\leq 1 发散

练习

3 题
未学