数学分析

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第 9 章草稿

定积分

4 个知识点

当前知识点

定积分的概念

本节你将掌握

  • 理解 Riemann 和的构造过程（分割、取样、求和、取极限）
  • 掌握定积分的 \\varepsilon-\\delta 定义，能叙述可积的含义
  • 理解定积分的几何意义（有向面积）
  • 了解定积分与不定积分的本质区别
设 ff 在 [a,b][a,b] 上有界。对 [a,b][a,b] 作分割 P:a=x0<x1<⋯<xn=bP: a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b，令 Δxi=xi−xi−1\Delta x_i=x_i-x_{i-1}，在每个子区间任取 ξi∈[xi−1,xi]\xi_i\in[x_{i-1},x_i]，作 Riemann 和
S(P,ξ)=∑i=1nf(ξi)Δxi.S(P,\xi)=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i.

若对任意 ε>0\varepsilon>0，存在 δ>0\delta>0，使得当 ∥P∥=max⁡iΔxi<δ\|P\|=\max_i\Delta x_i<\delta 时，对任意取样点 ξi\xi_i 均有 ∣S(P,ξ)−I∣<ε|S(P,\xi)-I|<\varepsilon，则称 ff 在 [a,b][a,b] 上 **Riemann 可积**，II 称为 ff 在 [a,b][a,b] 上的**定积分**，记作
I=∫abf(x) dx.I=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.

**几何意义**：若 f≥0f\geq 0，∫abf dx\int_a^b f\,\mathrm{d}x 等于曲线 y=f(x)y=f(x)、xx 轴和直线 x=a,x=bx=a,x=b 围成的面积；若 ff 变号，积分是**有向面积**（xx 轴上方取正，下方取负）。
**约定**：∫aaf dx=0\int_a^a f\,\mathrm{d}x=0；∫baf dx=−∫abf dx\int_b^a f\,\mathrm{d}x=-\int_a^b f\,\mathrm{d}x（上下限互换变号）。

练习

2 题
未学