数学分析

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第 20 章草稿

曲线积分

2 个知识点

当前知识点

第一型曲线积分（对弧长的积分）

本节你将掌握

  • 掌握第一型曲线积分的定义和物理意义（线密度质量）
  • 能将第一型曲线积分化为普通定积分计算
  • 理解第一型曲线积分与路径方向无关
**定义**：∫Lf(x,y) ds=lim⁡λ→0∑if(ξi,ηi)Δsi\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s=\lim_{\lambda\to 0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i（Δsi\Delta s_i 为弧长元素，λ\lambda 为最大弧长）。物理意义：密度为 f(x,y)f(x,y) 的曲线的总质量。
**计算方法（参数化）**：设曲线 LL 的参数方程 x=x(t),y=y(t)x=x(t),y=y(t)（t∈[α,β]t\in[\alpha,\beta]），弧长元素 ds=x′2(t)+y′2(t) dt\mathrm{d}s=\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\,\mathrm{d}t，故
∫Lf(x,y) ds=∫αβf(x(t),y(t))x′2(t)+y′2(t) dt.\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s=\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t))\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\,\mathrm{d}t.

**各种曲线形式**：
- 直角坐标 y=g(x)y=g(x)（x∈[a,b]x\in[a,b]）：ds=1+g′2(x) dx\mathrm{d}s=\sqrt{1+g'^2(x)}\,\mathrm{d}x。
- 极坐标 r=r(θ)r=r(\theta)（θ∈[α,β]\theta\in[\alpha,\beta]）：ds=r2+r′2 dθ\mathrm{d}s=\sqrt{r^2+r'^2}\,\mathrm{d}\theta。
- 空间曲线 r(t)=(x,y,z)\boldsymbol{r}(t)=(x,y,z)：ds=x′2+y′2+z′2 dt\mathrm{d}s=\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}\,\mathrm{d}t。
**性质**：与路径方向无关（∫L=∫−L\int_L=\int_{-L}，其中 −L-L 为反向）；线性性；可加性。

练习

2 题
未学