第 8 章草稿

不定积分

不定积分是导数的逆运算，也是下一章定积分计算的算法工具箱。本章先建立原函数（不定积分）的概念和基本性质，给出一张基本积分公式表；再系统讲授两种核心积分技法：换元积分法（用拼凑或正弦/有理式换元化简被积函数）和分部积分法（$\\int u\\,\\mathrm{d}v=uv-\\int v\\,\\mathrm{d}u$，适合乘积形式的被积函数）；最后讨论有理函数的部分分式分解，以及三角函数有理式和无理函数积分的有理化技巧。讲义、例子与题面均为自编或充分改写，公式用 LaTeX（四反斜线约定）。

4 个知识点

当前知识点

原函数与不定积分

本节你将掌握

理解原函数（不定积分）的定义： $F'(x)=f(x)$ 称 $F$ 是 $f$ 的原函数。
掌握不定积分的性质：同一函数的两个原函数相差常数； $\left(\int f\,\mathrm{d}x\right)'=f(x)$ ； $\int F'(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C$ 。
熟记基本积分公式表（至少 15 个）。

若

F'(x)=f(x)

，则称

F

是

f

在某区间上的**原函数**（antiderivative）。原函数若存在则有无穷多个，任意两个相差一个常数：若

F

和

G

都是

f

的原函数，则

(F-G)'=f-f=0

，故

F-G=C

（常数）。

f

的全部原函数写成

F(x)+C

（

C

为任意常数），称为

f

的**不定积分**，记

\int f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C

。基本性质：

\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int f\,\mathrm{d}x=f(x)

（求导与积分互逆）；

\int f'(x)\,\mathrm{d}x=f(x)+C

（先积后导）；

\int[af+bg]\,\mathrm{d}x=a\int f\,\mathrm{d}x+b\int g\,\mathrm{d}x

（线性性）。常用基本公式：

\int x^n\,\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C

（

n\ne -1

）；

\int\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln|x|+C

；

\int e^x\,\mathrm{d}x=e^x+C

；

\int\sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x+C

；

\int\cos x\,\mathrm{d}x=\sin x+C

；

\int\dfrac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\arctan x+C

；

\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x=\arcsin x+C

。

练习

1 题

未学

原函数与不定积分

思考题 · 检验理解