数学分析

同步精读工作台

讲义 · 追问 · 练习 · 批改

第 7 章草稿

实数的完备性

本章把前几章」预告」过但未严格证明的几个核心定理补齐证明，同时揭示实数完备性的多种等价刻画。六个基本定理相互等价：确界原理（Dedekind 完备性）、单调有界定理（用于数列）、闭区间套定理（Cantor 定理）、Bolzano–Weierstrass 聚点定理、Cauchy 收敛准则、有限覆盖定理（Heine–Borel）。以确界原理为出发点，依次推导其他定理，并将闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理、一致连续性定理、介值定理和零点定理严格证明。讲义、例子与题面均为自编或充分改写，公式用 LaTeX（四反斜线约定）。

5 个知识点

当前知识点

确界原理与实数完备性

本节你将掌握

  • 理解确界（上确界 sup、下确界 inf）的定义：最小上界与最大下界。
  • 掌握确界原理：实数中任何非空有上界的集合都有上确界（公理级陈述）。
  • 理解确界原理是区分实数集与有理数集的关键：Q\mathbb{Q} 不满足确界原理（{x∈Q:x2<2}\{x\in\mathbb{Q}:x^2<2\} 无有理上确界）。
**上界与上确界**：集合 A⊂RA\subset\mathbb{R} 若有上界（∃M\exists M 使 ∀x∈A,x≤M\forall x\in A,x\le M），则所有上界中最小者称为**上确界**（supremum），记 sup⁡A\sup A。上确界有两条等价刻画：① sup⁡A≥x\sup A\ge x（∀x∈A\forall x\in A）；② 对任意 ε>0\varepsilon>0，∃x∈A\exists x\in A 使 x>sup⁡A−εx>\sup A-\varepsilon（」逼近性」）。下确界 inf⁡A\inf A 对称定义。**确界原理（实数完备性公理）**：R\mathbb{R} 中非空有上界的集合必有上确界；非空有下界的集合必有下确界。这是实数公理体系的一部分，不需要（也不能被）证明，而是构建实数系的出发点。**与有理数的对比**：{x∈Q:x2<2}\{x\in\mathbb{Q}:x^2<2\} 在 Q\mathbb{Q} 中有上界但没有有理数的上确界（2∉Q\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}），说明 Q\mathbb{Q} 不满足确界原理，实数的完备性本质上来自」没有空洞」。

练习

1 题
未学