数学分析

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第 11 章草稿

反常积分

3 个知识点

当前知识点

反常积分的概念

本节你将掌握

  • 理解无穷限反常积分的定义（以极限定义代替上/下限）
  • 理解瑕积分（无界函数的积分）的定义
  • 掌握判断反常积分收敛/发散的基本方法
  • 能用 Newton-Leibniz 公式的推广计算反常积分
**无穷限反常积分**：
∫a+∞f(x) dx=lim⁡b→+∞∫abf(x) dx,\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x,

当极限存在（有限）时称收敛，否则称发散。类似定义 ∫−∞bf\int_{-\infty}^b f 和 ∫−∞+∞f\int_{-\infty}^{+\infty}f（后者须分拆为两段各自收敛）。
**瑕积分（无界函数）**：若 ff 在 [a,b)[a,b) 上连续，x→b−x\to b^- 时 ∣f(x)∣→+∞|f(x)|\to+\infty（bb 为**瑕点**），则
∫abf(x) dx=lim⁡ε→0+∫ab−εf(x) dx.\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_a^{b-\varepsilon}f(x)\,\mathrm{d}x.

若瑕点在区间内部（如 c∈(a,b)c\in(a,b)），须分拆：∫ab=∫ac+∫cb\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b，且两段均收敛时原积分才收敛。
**计算方法**：若 FF 是 ff 的原函数且连续延拓到端点，则用广义 Newton-Leibniz：
∫a+∞f dx=[F(x)]a+∞=lim⁡x→+∞F(x)−F(a).\int_a^{+\infty}f\,\mathrm{d}x=[F(x)]_a^{+\infty}=\lim_{x\to+\infty}F(x)-F(a).

**典型例子**：
- ∫1+∞1xp dx\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}\,\mathrm{d}x：p>1p>1 时收敛，值为 1p−1\frac{1}{p-1}；p≤1p\leq 1 时发散（含调和级数对应 p=1p=1）。
- ∫011xp dx\int_0^1\frac{1}{x^p}\,\mathrm{d}x：p<1p<1 时收敛，值为 11−p\frac{1}{1-p}；p≥1p\geq 1 时发散。
- ∫0+∞e−x dx=1\int_0^{+\infty}e^{-x}\,\mathrm{d}x=1（标准指数积分）。

练习

3 题
未学