数学分析

同步精读工作台

讲义 · 追问 · 练习 · 批改

第 15 章草稿

傅里叶级数

3 个知识点

当前知识点

傅里叶级数的概念与 Fourier 系数

本节你将掌握

  • 理解三角函数系的正交性
  • 掌握 Euler-Fourier 公式计算 Fourier 系数
  • 能写出以 2π2\pi 为周期函数的 Fourier 级数
**三角函数系的正交性**：{1,cos⁡x,sin⁡x,cos⁡2x,sin⁡2x,…}\{1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\ldots\} 在 [−π,π][-\pi,\pi] 上两两正交：
∫−ππcos⁡mxcos⁡nx dx={0m≠nπm=n≠02πm=n=0,∫−ππcos⁡mxsin⁡nx dx=0.\int_{-\pi}^\pi\cos mx\cos nx\,\mathrm{d}x=\begin{cases}0 & m\neq n\\\pi & m=n\neq 0\\2\pi & m=n=0\end{cases},\quad\int_{-\pi}^\pi\cos mx\sin nx\,\mathrm{d}x=0.

**Fourier 系数（Euler-Fourier 公式）**：设 ff 在 [−π,π][-\pi,\pi] 上可积，定义
a0=1π∫−ππf(x) dx,an=1π∫−ππf(x)cos⁡nx dx,bn=1π∫−ππf(x)sin⁡nx dx.a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,\mathrm{d}x,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\,\mathrm{d}x,\quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\,\mathrm{d}x.

则 ff 的 **Fourier 级数**为 a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)，记作 f(x)∼a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)（∼\sim 表示对应，不一定逐点相等）。
**奇偶函数简化**：ff 为偶函数：bn=0b_n=0，an=2π∫0πf(x)cos⁡nx dxa_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos nx\,\mathrm{d}x（余弦级数）。ff 为奇函数：an=0a_n=0，bn=2π∫0πf(x)sin⁡nx dxb_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin nx\,\mathrm{d}x（正弦级数）。
**Bessel 不等式**：a022+∑n=1∞(an2+bn2)≤1π∫−ππ[f(x)]2 dx\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)\leq\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi[f(x)]^2\,\mathrm{d}x（等号即 Parseval 等式）。

练习

2 题
未学