数学分析

同步精读工作台

讲义 · 追问 · 练习 · 批改

第 5 章草稿

导数和微分

本章引入微积分的核心工具：导数与微分。从速度、切线等直观问题出发，给出导数的精确定义（差商极限），讨论可导与连续的关系，再系统建立求导法则（四则运算、反函数、复合函数链式法则）和初等函数导数公式表。延伸到隐函数与参变量函数的求导方法，以及高阶导数的概念与 Leibniz 公式。最后引入微分：一阶近似的精确描述，以及微分形式不变性。讲义、例子与题面均为自编或充分改写，公式用 LaTeX（四反斜线约定）。

8 个知识点

当前知识点

导数的定义

本节你将掌握

  • 理解导数是差商的极限，能给出 f′(x0)f'(x_0) 的精确定义。
  • 理解单侧导数（左导数 f−′(x0)f'_-(x_0)、右导数 f+′(x0)f'_+(x_0)）的定义及与导数的关系。
  • 能用定义求简单函数（常数、幂函数、sin⁡x\sin x）的导数。
  • 理解可导与连续的关系：可导必连续，连续不必可导。
导数刻画函数在一点处的」变化率」。设 ff 在 x0x_0 的某邻域内有定义，给自变量一个增量 Δx\Delta x（x→x0+Δxx\to x_0+\Delta x），函数对应增量 Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)。差商 ΔyΔx\dfrac{\Delta y}{\Delta x} 是这一段的平均变化率，令 Δx→0\Delta x\to 0，若极限存在，就称 ff 在 x0x_0 处**可导**，极限值为**导数**：
f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx.f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.
等价形式（令 x=x0+Δxx=x_0+\Delta x）：f′(x0)=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}。单侧导数把极限过程限制到单侧，可导的充要条件是左右导数均存在且相等。**可导与连续的关系**：可导 ⇒\Rightarrow 连续（由 Δy=f′(x0)Δx+o(Δx)→0\Delta y = f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)\to 0），但连续不一定可导——经典反例是 f(x)=∣x∣f(x)=|x| 在 x=0x=0：连续，但左导数为 −1-1、右导数为 11，不相等，不可导。

练习

2 题
未学