数学分析

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第 14 章草稿

幂级数

3 个知识点

当前知识点

幂级数的收敛性

本节你将掌握

  • 掌握 Abel 定理：收敛点附近的一致收敛性
  • 掌握收敛半径的 Cauchy-Hadamard 公式及比值法
  • 能确定幂级数的收敛域（含端点的逐点讨论）
**幂级数**：∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n（或更一般地 ∑an(x−x0)n\sum a_n(x-x_0)^n）。
**Abel 定理**：若 ∑anxn\sum a_n x^n 在 x=x1≠0x=x_1\neq 0 处收敛，则对任意 ∣x∣<∣x1∣|x|<|x_1|，级数绝对收敛；对任意 ∣x∣≤r<∣x1∣|x|\leq r<|x_1|，级数一致（绝对）收敛。
**收敛半径**：∃R∈[0,+∞]\exists R\in[0,+\infty] 使级数在 (−R,R)(-R,R) 内绝对收敛，在 ∣x∣>R|x|>R 发散。RR 由 **Cauchy-Hadamard 公式**给出：
R=1lim sup⁡n→∞∣an∣n.R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.

若 lim⁡n→∞∣an+1/an∣=ρ\lim_{n\to\infty}|a_{n+1}/a_n|=\rho（比值法），则 R=1/ρR=1/\rho（ρ=0\rho=0 时 R=+∞R=+\infty，ρ=+∞\rho=+\infty 时 R=0R=0）。
**收敛域**：开区间 (−R,R)(-R,R) 加上端点 ±R\pm R 的单独讨论（用级数判别法逐一检验）。四种情况：(−R,R)(-R,R)，[−R,R)[-R,R)，(−R,R](-R,R]，[−R,R][-R,R]。
**典型例子**：
- ∑xn/n!\sum x^n/n!：R=+∞R=+\infty，收敛域 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty)
- ∑xn\sum x^n：R=1R=1，端点 ±1\pm 1 均发散，收敛域 (−1,1)(-1,1)
- ∑xn/n\sum x^n/n：R=1R=1，x=1x=1 发散（调和），x=−1x=-1 收敛（交错），收敛域 [−1,1)[-1,1)
- ∑xn/n2\sum x^n/n^2：R=1R=1，端点均收敛（p=2>1p=2>1），收敛域 [−1,1][-1,1]

练习

2 题
未学