数学分析 · 同步精读工作台

当前知识点

实数与实数的性质

本节你将掌握

**实数集**

\mathbb{R}

：有理数（

\mathbb{Q}

，形如

p/q

，

p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{N}^+

）与无理数的并集。有理数与无理数在

\mathbb{R}

上均稠密（任意两实数之间均存在有理数和无理数）。
**实数的完备性（直觉）**：实数轴上没有」空洞」——每个有理数的 Cauchy 序列都收敛到一个实数（无理数填补有理数轴的空洞）。这是数学分析的基础，不同于有理数的不完备。
**绝对值**：

|a|=\begin{cases}a,&a\geq 0\\-a,&a<0\end{cases}

。
**绝对值的性质**：
-

|a|\geq 0

，

|a|=0\Leftrightarrow a=0

；
-

|ab|=|a||b|

；
- **三角不等式**：

|a+b|\leq|a|+|b|

；逆三角不等式：

||a|-|b||\leq|a-b|

；
-

|a-b|

：数轴上

a,b

两点之间的距离。
**有界性**：集合

A\subset\mathbb{R}

有上界（

\exists M,\forall x\in A,x\leq M

）；有下界类似。既有上界又有下界称有界（等价于

\exists M>0,\forall x\in A,|x|\leq M

）。