函数的连续性

有些函数（如定义在区间端点处）只能从一侧接近 $x_0$；有些分段函数在分界点左右行为不同。为此引入单侧连续：若 $\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)$，称 $f$ 在 $x_0$ 处左连续；若 $\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)$，称右连续。单侧连续仍要求函数在 $x_0$ 处有定义，且单侧极限等于函数值——仅有单侧极限存在还不够。

与单侧极限和双侧极限的关系类比，函数在 $x_0$ 处连续 $\iff$ 它在 $x_0$ 处既左连续又右连续。证明思路与极限章相同：双侧连续的 $\delta$ 邻域同时覆盖左右两侧；反之取左右两侧 $\delta$ 的较小者即可合并。若只左连续不右连续（或反之），则双侧极限即使存在也不等于函数值，函数在该点不连续。

端点处通常只要求单侧连续：在闭区间 $[a,b]$ 上连续是指内点双侧连续、左端点 $a$ 右连续、右端点 $b$ 左连续。分段函数在分界点的衔接必须左右两侧分别检验。例如 $f(x)=\begin{cases}x^2, & x<1\\x+1, & x\ge 1\end{cases}$ 在 $x_0=1$ 处：左极限 $f(1^-)=1$，右极限与函数值 $f(1^+)=f(1)=2$，左右不等，故不连续；若改为 $x+1$ 在 $x<1$、$x^2$ 在 $x\ge 1$，则 $f(1^-)=2$、$f(1)=1$，仍不连续，但是跳跃间断而非单侧连续失败。