函数的连续性

若 $f$ 在 $x_0$ 不连续，$x_0$ 就是 $f$ 的间断点。间断有三种成因：$f$ 在 $x_0$ 无定义、极限不存在，或极限存在但不等于函数值。分类时先求左右极限 $f(x_0^-)$ 与 $f(x_0^+)$，再按极限是否存在、是否有限、是否相等来归类。

**第一类间断点**（左、右极限均存在且有限）：若 $f(x_0^-)=f(x_0^+)$ 但 $\ne f(x_0)$（或 $f$ 在 $x_0$ 无定义），称为**可去间断点**——只要把 $f(x_0)$ 重定义为该极限值，便可「修补」为连续，如 $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$；若 $f(x_0^-)\ne f(x_0^+)$，称为**跳跃间断点**，跳跃幅度为 $|f(x_0^+)-f(x_0^-)|$，如 $f(x)=\mathrm{sgn}(x)$ 在 $x=0$。

**第二类间断点**（至少一侧极限不存在或为无穷）：若某侧极限为 $\pm\infty$ 称**无穷间断点**（如 $x=0$ 对 $f(x)=1/x$）；若某侧极限振荡不定（如 $x=0$ 对 $f(x)=\sin(1/x)$）称**振荡间断点**。分类口诀：先判左右极限是否均存在有限——是则第一类（再分可去/跳跃），否则第二类（再分无穷/振荡）。