函数的连续性

连续性通过极限来定义，而极限满足四则运算，因此连续函数的四则组合仍连续。精确地说：若 $f$ 与 $g$ 在 $x_0$ 处连续，则 $f+g$、$f-g$、$f\cdot g$ 在 $x_0$ 处也连续；若还有 $g(x_0)\ne 0$，则 $f/g$ 在 $x_0$ 处连续。这些结论的证明只需把极限的四则运算法则与连续性定义拼接：$\lim_{x\to x_0}(f+g)(x)=\lim f(x)+\lim g(x)=f(x_0)+g(x_0)=(f+g)(x_0)$。

商法则需要额外条件 $g(x_0)\ne 0$：由 $g$ 在 $x_0$ 连续且 $g(x_0)\ne 0$，据局部保号性，$g$ 在 $x_0$ 某邻域内恒不为零，从而 $\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x_0)}{g(x_0)}$。若 $g(x_0)=0$，则不能直接断言 $f/g$ 在 $x_0$ 连续——它可能无定义或出现间断。

**推论**：多项式函数在整个实轴 $\mathbb{R}$ 上连续（常数函数与 $f(x)=x$ 连续，有限次乘加仍连续）；有理函数在其定义域（分母非零的点集）上连续。注意两个各自间断的函数相加可能连续（如 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 与 $g(x)=-\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ 均不连续，但 $f+g\equiv 0$ 处处连续），因此不能从「因式均间断」推出「和必间断」。