函数的连续性

设 $y=f(g(x))$，内函数 $u=g(x)$，外函数 $y=f(u)$。复合函数连续性定理说：若 $g$ 在 $x_0$ 连续，且 $f$ 在 $u_0=g(x_0)$ 处连续，则 $f\circ g$ 在 $x_0$ 连续。证明思路是两步嵌套的 $\varepsilon$-$\delta$：由 $g$ 连续，$x$ 充分靠近 $x_0$ 时 $g(x)$ 充分靠近 $g(x_0)$；再由 $f$ 在 $g(x_0)$ 连续，$g(x)$ 充分靠近 $g(x_0)$ 时 $f(g(x))$ 充分靠近 $f(g(x_0))$。

定理还有更强的形式：若 $\lim_{x\to x_0}g(x)=u_0$（$g$ 不必在 $x_0$ 连续），且 $f$ 在 $u_0$ 连续，则 $\lim_{x\to x_0}f(g(x))=f(u_0)=f\left(\lim_{x\to x_0}g(x)\right)$——即连续函数可以「穿过极限号」。这解释了为何求极限时常把 $\sin x$、$\ln(1+u)$、$\mathrm{e}^u$ 等外层函数直接代入内层极限：外层在极限值处连续即可。

实用推论：凡是由初等函数有限次四则运算和复合得到的函数，在其定义域内部各点均连续。反例说明条件不可省：$g(x)=\begin{cases}0, & x\ne 0\\1, & x=0\end{cases}$ 与 $f(u)=\mathrm{sgn}(u)$ 各自在 $x=0$ 处「几乎」连续，但 $f(g(x))\equiv 0$（$x\ne 0$）且 $f(g(0))=1$，复合后在 $0$ 不连续——因为 $g(0)=1$ 而 $\lim_{x\to 0}g(x)=0$，外函数需在 $u_0=\lim g(x)$ 处连续，而非仅在 $g(x_0)$ 处。