函数的连续性

六类基本初等函数——幂函数 $x^\alpha$、指数函数 $a^x$（$a>0,a\ne1$）、对数函数 $\log_a x$、三角函数（$\sin x,\cos x,\tan x$ 等）、反三角函数——在各自定义域内连续。这些结论可借助极限定理严格证明：例如 $\sin x$ 利用 $|\sin x-\sin x_0|\le|x-x_0|$ 得 $\lim_{x\to x_0}\sin x=\sin x_0$；$\mathrm{e}^x$ 的连续性可由单调性与确界原理或级数定义推出。

由四则运算封闭性和复合函数连续性定理，这六类函数通过有限次加减乘除和复合得到的「初等函数」，在其定义域的每个内点处均连续。注意措辞：我们说「在定义域的区间上连续」，而非笼统说「在定义域上连续」——因为定义域可能是若干不相交区间的并，端点处可能只要求单侧连续，间断点（如 $\tan x$ 在 $x=\pi/2+k\pi$）自然落在定义域之外。

实用推论：求初等函数在定义域内一点的极限时，若 $x_0$ 属于定义域的内点，可直接代入：$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。这正是连续性的运算价值——把求极限化归为求函数值。但若 $x_0$ 是定义域的边界或使分母为零的点，必须先化简、换元或分左右极限，不能盲目代入。