函数的连续性

闭区间上的连续函数具有若干「整体性质」，这是实数完备性的体现，严格证明放在第 7 章，这里先给出陈述与直觉。与「在一点连续」不同，这些定理考察的是函数在整个有界闭区间 $[a,b]$ 上的整体行为，因此前提必须是「$f$ 在 $[a,b]$ 上连续」，开区间或无穷区间上的连续函数不一定具备相同结论。

**最大值定理（有界性与最值定理）**：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界，且能取到最大值和最小值，即存在 $x_1,x_2\in[a,b]$ 使 $f(x_1)=\min_{[a,b]}f$、$f(x_2)=\max_{[a,b]}f$。反例：$f(x)=1/x$ 在 $(0,1)$ 上连续但无界，更无最大值。**零点定理**：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续且 $f(a)\cdot f(b)<0$（两端异号），则 $\exists\,\xi\in(a,b)$ 使 $f(\xi)=0$——连续曲线从正到负必穿过 $x$ 轴。

**介值定理**：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$m=\min_{[a,b]}f$、$M=\max_{[a,b]}f$，则对任意 $c\in[m,M]$，$\exists\,\xi\in[a,b]$ 使 $f(\xi)=c$——连续函数能取到最小值与最大值之间的一切值，体现「不跳跃」的直觉。零点定理是介值定理在 $c=0$ 且端点异号时的特例；介值定理又可由零点定理推出（对 $g(x)=f(x)-c$ 应用零点定理）。二分法求根的直觉也来自零点定理。