数学分析

同步精读工作台

讲义 · 追问 · 练习 · 批改

第 9 章草稿

定积分

4 个知识点

当前知识点

可积条件

本节你将掌握

  • 理解 Darboux 上/下积分与可积的等价刻画
  • 掌握三类充分条件：连续函数、有界且只有有限个不连续点的函数、单调有界函数
  • 了解 Riemann 可积的充要条件（振幅和趋于零）
**Darboux 方法**：对分割 PP 定义上和 S‾(P)=∑MiΔxi\overline{S}(P)=\sum M_i\Delta x_i，下和 S‾(P)=∑miΔxi\underline{S}(P)=\sum m_i\Delta x_i（Mi,miM_i,m_i 为第 ii 段上的上/下确界）。总有 S‾(P)≤S(P,ξ)≤S‾(P)\underline{S}(P)\leq S(P,\xi)\leq\overline{S}(P)。
**可积充要条件（Riemann）**：ff 可积 ⇔\Leftrightarrow lim⁡∥P∥→0(S‾(P)−S‾(P))=0\lim_{\|P\|\to 0}(\overline{S}(P)-\underline{S}(P))=0，即振幅和趋零：对任意 ε>0\varepsilon>0，∃δ>0\exists\delta>0 使 ∥P∥<δ\|P\|<\delta 时 ∑i=1nωiΔxi<ε\sum_{i=1}^n\omega_i\Delta x_i<\varepsilon（ωi=Mi−mi\omega_i=M_i-m_i）。
**三大充分条件**：
1. **ff 在 [a,b][a,b] 上连续** ⇒\Rightarrow ff 可积（均匀连续保证振幅可任意小）
2. **ff 在 [a,b][a,b] 上有界且只有有限个不连续点** ⇒\Rightarrow ff 可积
3. **ff 在 [a,b][a,b] 上单调有界** ⇒\Rightarrow ff 可积（振幅和 ≤(f(b)−f(a))⋅∥P∥→0\leq (f(b)-f(a))\cdot\|P\|\to 0）

练习

1 题
未学