数学分析

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第 9 章草稿

定积分

4 个知识点

当前知识点

定积分的性质

本节你将掌握

  • 熟练运用线性性、区间可加性进行定积分运算
  • 掌握单调性（保号性、估值不等式）和积分中值定理
  • 能利用被积函数的奇偶性/周期性简化计算
**基本性质**（设 f,gf,g 在 [a,b][a,b] 可积）：
1. **线性性**：∫ab(αf+βg) dx=α∫abf dx+β∫abg dx\int_a^b(\alpha f+\beta g)\,\mathrm{d}x=\alpha\int_a^b f\,\mathrm{d}x+\beta\int_a^b g\,\mathrm{d}x
2. **区间可加性**：∫abf=∫acf+∫cbf\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f（对任意 c∈[a,b]c\in[a,b]，甚至 c∉[a,b]c\notin[a,b] 也成立）
3. **保号性**：若 f≥0f\geq 0 在 [a,b][a,b] 上，则 ∫abf dx≥0\int_a^b f\,\mathrm{d}x\geq 0
4. **单调性**：若 f≤gf\leq g 在 [a,b][a,b] 上，则 ∫abf≤∫abg\int_a^b f\leq\int_a^b g
5. **估值不等式**：m(b−a)≤∫abf dx≤M(b−a)m(b-a)\leq\int_a^b f\,\mathrm{d}x\leq M(b-a)（m,Mm,M 为最小、最大值）
6. **绝对值不等式**：∣∫abf dx∣≤∫ab∣f∣ dx\left|\int_a^b f\,\mathrm{d}x\right|\leq\int_a^b|f|\,\mathrm{d}x
**积分中值定理**：若 ff 在 [a,b][a,b] 连续，则 ∃ξ∈(a,b)\exists\xi\in(a,b) 使 ∫abf(x) dx=f(ξ)(b−a)\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a)（f(ξ)f(\xi) 称为 ff 在 [a,b][a,b] 上的**积分平均值**）。
**奇偶性**：若 ff 在 [−a,a][-a,a] 上连续，ff 为奇函数则 ∫−aaf=0\int_{-a}^a f=0；ff 为偶函数则 ∫−aaf=2∫0af\int_{-a}^a f=2\int_0^a f。
**周期性**：若 ff 以 TT 为周期，则 ∫aa+Tf=∫0Tf\int_a^{a+T}f=\int_0^T f（积分值与起点无关）。

练习

3 题
未学