数学分析

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第 9 章草稿

定积分

4 个知识点

当前知识点

微积分学基本定理

本节你将掌握

  • 理解变上限积分 Φ(x)=∫axf(t) dt\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t 作为 ff 的原函数的意义
  • 掌握 Φ′(x)=f(x)\Phi'(x)=f(x)（微积分基本定理第一部分）的证明
  • 熟练应用 Newton-Leibniz 公式计算定积分
  • 掌握定积分的换元法和分部积分法
**变上限积分**：设 ff 在 [a,b][a,b] 可积，x∈[a,b]x\in[a,b]，定义 Φ(x)=∫axf(t) dt\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t。
**微积分基本定理（第一部分）**：若 f∈C[a,b]f\in C[a,b]，则 Φ′(x)=f(x)\Phi'(x)=f(x)，即 Φ\Phi 是 ff 的一个原函数。
**Newton-Leibniz 公式**：若 f∈C[a,b]f\in C[a,b]，FF 为 ff 的任一原函数，则
∫abf(x) dx=F(b)−F(a)=[F(x)]ab.\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b)-F(a)=[F(x)]_a^b.

**定积分换元法**：设 f∈C[a,b]f\in C[a,b]，x=φ(t)x=\varphi(t) 满足 φ(α)=a\varphi(\alpha)=a，φ(β)=b\varphi(\beta)=b，φ′\varphi' 连续且不变号，则
∫abf(x) dx=∫αβf(φ(t))φ′(t) dt.\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,\mathrm{d}t.

注意：**换元后上下限同步换**，不必换回。
**定积分分部积分法**：∫abu dv=[uv]ab−∫abv du\int_a^b u\,\mathrm{d}v=[uv]_a^b-\int_a^b v\,\mathrm{d}u。
**Wallis 公式**（重要推论）：
∫0π/2sin⁡nx dx=∫0π/2cos⁡nx dx={(n−1)!!n!!⋅π2n 偶,(n−1)!!n!!n 奇.\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,\mathrm{d}x=\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,\mathrm{d}x=\begin{cases}\dfrac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\dfrac{\pi}{2} & n\text{ 偶},\\[6pt]\dfrac{(n-1)!!}{n!!} & n\text{ 奇}.\end{cases}

**变上限积分求导的推广**：ddx∫ψ(x)φ(x)f(t) dt=f(φ(x))φ′(x)−f(ψ(x))ψ′(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t=f(\varphi(x))\varphi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x)。

练习

5 题
未学