第 10 章草稿

定积分的应用

3 个知识点

当前知识点

旋转体体积与弧长

本节你将掌握

**旋转体体积（圆盘法/垫圈法）**：曲线

y=f(x)\geq 0

在

[a,b]

上绕

x

轴旋转一周所得体积：

V=\pi\int_a^b[f(x)]^2\,\mathrm{d}x.

若是两条曲线

f\geq g\geq 0

之间绕

x

轴的区域（垫圈法）：

V=\pi\int_a^b([f(x)]^2-[g(x)]^2)\,\mathrm{d}x

。
**柱壳法（绕

y

轴）**：

V=2\pi\int_a^b x f(x)\,\mathrm{d}x

（

f\geq 0

，

0\leq a<b

）。
**平行截面法**：若垂直于某轴（设为

x

轴）的截面面积为

A(x)

，则体积

V=\int_a^b A(x)\,\mathrm{d}x

（圆盘法是其特例）。
**弧长公式**：
- 直角坐标：

L=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,\mathrm{d}x

- 参数方程

x=\varphi(t)

，

y=\psi(t)

：

L=\int_\alpha^\beta\sqrt{[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2}\,\mathrm{d}t

- 极坐标

r=r(\theta)

：

L=\int_\alpha^\beta\sqrt{r^2+(r')^2}\,\mathrm{d}\theta

练习

3 题

未学