数学分析

同步精读工作台

讲义 · 追问 · 练习 · 批改

第 5 章草稿

导数和微分

本章引入微积分的核心工具：导数与微分。从速度、切线等直观问题出发，给出导数的精确定义（差商极限），讨论可导与连续的关系，再系统建立求导法则（四则运算、反函数、复合函数链式法则）和初等函数导数公式表。延伸到隐函数与参变量函数的求导方法，以及高阶导数的概念与 Leibniz 公式。最后引入微分：一阶近似的精确描述，以及微分形式不变性。讲义、例子与题面均为自编或充分改写，公式用 LaTeX（四反斜线约定）。

8 个知识点

当前知识点

导数的几何意义与物理意义

本节你将掌握

  • 理解导数的几何意义：切线斜率 k=f′(x0)k=f'(x_0)，能写出切线和法线方程。
  • 理解导数作为瞬时变化率的物理意义（速度、加速度等）。
  • 能由导数值判断函数在一点的增减趋势。
差商 f(x0+Δx)−f(x0)Δx\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} 正是过点 (x0,f(x0))(x_0,f(x_0)) 和 (x0+Δx,f(x0+Δx))(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x)) 的**割线**斜率。令 Δx→0\Delta x\to 0，割线极限趋向**切线**，故导数 f′(x0)f'(x_0) 是曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (x0,f(x0))(x_0,f(x_0)) 处切线的斜率。切线方程：y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)；法线（与切线垂直）斜率为 −1/f′(x0)-1/f'(x_0)（f′(x0)≠0f'(x_0)\ne 0）。物理上：若 s=s(t)s=s(t) 是位移，则 s′(t0)=lim⁡Δt→0ΔsΔts'(t_0)=\lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{\Delta s}{\Delta t} 是 t0t_0 时刻的**瞬时速度**；速度的导数是**加速度**。一般地，f′(x0)>0f'(x_0)>0 意味函数在 x0x_0 附近局部单调递增，f′(x0)<0f'(x_0)<0 则局部单调递减（注意这仅是局部的、一阶信息）。

练习

1 题
未学