第 5 章草稿

导数和微分

本章引入微积分的核心工具：导数与微分。从速度、切线等直观问题出发，给出导数的精确定义（差商极限），讨论可导与连续的关系，再系统建立求导法则（四则运算、反函数、复合函数链式法则）和初等函数导数公式表。延伸到隐函数与参变量函数的求导方法，以及高阶导数的概念与 Leibniz 公式。最后引入微分：一阶近似的精确描述，以及微分形式不变性。讲义、例子与题面均为自编或充分改写，公式用 LaTeX（四反斜线约定）。

8 个知识点

当前知识点

基本求导法则

本节你将掌握

掌握导数的四则运算法则： $(f\pm g)'$ 、 $(fg)'$ 、 $(f/g)'$ 。
掌握复合函数求导的**链式法则**： $(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$ 。
掌握反函数求导法则： $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\dfrac{1}{\mathrm{d}y/\mathrm{d}x}$ 。
能熟练地将这些法则组合使用，对常见函数求导。

**四则法则**：若

f,g

在

x

处可导，则

(f\pm g)'=f'\pm g'

；

(fg)'=f'g+fg'

（乘积法则，Leibniz 一阶形式）；

\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}

（

g\ne 0

）。这些都可由极限的四则运算直接推出。**链式法则**（复合函数求导）：若

y=f(u)

，

u=g(x)

，且

g

在

x

可导，

f

在

u=g(x)

可导，则

\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}

，即」外层导数×内层导数」；链式法则可嵌套多层。**反函数求导**：若

y=f(x)

在

x_0

附近严格单调且可导，

f'(x_0)\ne 0

，则其反函数

x=f^{-1}(y)

也在

y_0=f(x_0)

处可导，且

\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\bigg|_{y_0}=\dfrac{1}{f'(x_0)}

。

练习

2 题

未学

基本求导法则

思考题 · 检验理解