第 5 章草稿

导数和微分

本章引入微积分的核心工具：导数与微分。从速度、切线等直观问题出发，给出导数的精确定义（差商极限），讨论可导与连续的关系，再系统建立求导法则（四则运算、反函数、复合函数链式法则）和初等函数导数公式表。延伸到隐函数与参变量函数的求导方法，以及高阶导数的概念与 Leibniz 公式。最后引入微分：一阶近似的精确描述，以及微分形式不变性。讲义、例子与题面均为自编或充分改写，公式用 LaTeX（四反斜线约定）。

8 个知识点

当前知识点

隐函数与参变量函数的导数

本节你将掌握

掌握对隐函数 $F(x,y)=0$ 两边对 $x$ 求导（把 $y$ 视为 $x$ 的函数）来求 $y'$ 的方法。
掌握参变量函数 $\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$ 的求导公式 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$ 。
了解对数求导法：先取对数再求导，适合幂指函数或多因子乘积。

**隐函数求导**：若

y

由方程

F(x,y)=0

隐式确定，对方程两边关于

x

求导，把

y

看作

x

的函数，遇

y

的函数用链式法则乘以

y'

，最后解出

y'

。例如

x^2+y^2=r^2

两边对

x

求导：

2x+2y\cdot y'=0

，故

y'=-x/y

。**参变量求导**：

x=\varphi(t)

，

y=\psi(t)

，由链式法则

\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}

（

\varphi'(t)\ne 0

）。**对数求导法**：对

y=u(x)^{v(x)}

这类幂指函数，取

\ln y=v\ln u

，两边对

x

求导，解出

y'

；对多因子乘积（如

y=\dfrac{\sqrt{x}(x+1)^2}{(x+2)^3}

）先取对数再各项对

x

求导，比逐项用乘积/商法则更简洁。

练习

1 题

未学

隐函数与参变量函数的导数

思考题 · 检验理解