第 5 章草稿

导数和微分

本章引入微积分的核心工具：导数与微分。从速度、切线等直观问题出发，给出导数的精确定义（差商极限），讨论可导与连续的关系，再系统建立求导法则（四则运算、反函数、复合函数链式法则）和初等函数导数公式表。延伸到隐函数与参变量函数的求导方法，以及高阶导数的概念与 Leibniz 公式。最后引入微分：一阶近似的精确描述，以及微分形式不变性。讲义、例子与题面均为自编或充分改写，公式用 LaTeX（四反斜线约定）。

8 个知识点

当前知识点

高阶导数

本节你将掌握

理解高阶导数的定义： $n$ 阶导数是 $(n-1)$ 阶导数的导数。
掌握 Leibniz 公式 $(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}$ 。
能求常见函数（ $\sin x$ 、 $e^{ax}$ 、 $x^n\cdot e^x$ 等）的高阶导数。

若

f'(x)

可导，则

(f')'

称为

f

的**二阶导数**，记

f''(x)

或

\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}

；依此类推，

f^{(n)}(x)

或

\dfrac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n}

是

n

阶导数。常见函数的

n

阶导数：

(\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\pi/2)

；

(\cos x)^{(n)}=\cos(x+n\pi/2)

；

(e^{ax})^{(n)}=a^n e^{ax}

；

(x^m)^{(n)}=m(m-1)\cdots(m-n+1)x^{m-n}

（

n\le m

时非零，

n>m

时为零）。**Leibniz 公式**对乘积高阶导数特别有用：

(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)},

形式上与二项式定理完全类比，其中

f^{(0)}=f

，

g^{(0)}=g

。典型用途：对

f=x^m

（高阶导数在

k>m

时为零）与

g=e^x

或

\sin x

的乘积，多数项消失，大幅简化计算。

练习

1 题

未学

高阶导数

思考题 · 检验理解