数学分析

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第 5 章草稿

导数和微分

本章引入微积分的核心工具：导数与微分。从速度、切线等直观问题出发，给出导数的精确定义（差商极限），讨论可导与连续的关系，再系统建立求导法则（四则运算、反函数、复合函数链式法则）和初等函数导数公式表。延伸到隐函数与参变量函数的求导方法，以及高阶导数的概念与 Leibniz 公式。最后引入微分：一阶近似的精确描述，以及微分形式不变性。讲义、例子与题面均为自编或充分改写，公式用 LaTeX（四反斜线约定）。

8 个知识点

当前知识点

微分的概念

本节你将掌握

  • 理解微分的定义：dy=f′(x0) dx\mathrm{d}y=f'(x_0)\,\mathrm{d}x，它是 Δy\Delta y 的线性主部。
  • 理解 ff 在 x0x_0 处可微与可导等价，且 dy=f′(x0)Δx\mathrm{d}y=f'(x_0)\Delta x（当 dx=Δx\mathrm{d}x=\Delta x）。
  • 掌握微分形式不变性：无论 xx 是自变量还是中间变量，dy=f′(u) du\mathrm{d}y=f'(u)\,\mathrm{d}u 形式不变。
导数关注」变化率」，微分关注」变化量的线性逼近」。若增量 Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) 可以写成
Δy=AΔx+o(Δx)(Δx→0),\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\quad(\Delta x\to 0),
其中 AA 是与 Δx\Delta x 无关的常数，则称 ff 在 x0x_0 处**可微**，AΔxA\Delta x 称为**微分** dy\mathrm{d}y（或 df∣x0\mathrm{d}f|_{x_0}）。可以证明，ff 在 x0x_0 可微   ⟺  \iff 可导，且 A=f′(x0)A=f'(x_0)，故 dy=f′(x0) dx\mathrm{d}y=f'(x_0)\,\mathrm{d}x（约定自变量 xx 的微分 dx=Δx\mathrm{d}x=\Delta x）。**微分形式不变性**：若 y=f(u)y=f(u)，无论 uu 是自变量还是 u=g(x)u=g(x) 的函数，都有 dy=f′(u) du\mathrm{d}y=f'(u)\,\mathrm{d}u；只需最后把 du\mathrm{d}u 换成对应表达式。这使微分的书写形式独立于变量层次，是符号微积分的重要优雅之处。

练习

1 题
未学