数学分析

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第 5 章草稿

导数和微分

本章引入微积分的核心工具：导数与微分。从速度、切线等直观问题出发，给出导数的精确定义（差商极限），讨论可导与连续的关系，再系统建立求导法则（四则运算、反函数、复合函数链式法则）和初等函数导数公式表。延伸到隐函数与参变量函数的求导方法，以及高阶导数的概念与 Leibniz 公式。最后引入微分：一阶近似的精确描述，以及微分形式不变性。讲义、例子与题面均为自编或充分改写，公式用 LaTeX（四反斜线约定）。

8 个知识点

当前知识点

微分的近似计算

本节你将掌握

  • 理解 f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δxf(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x 的近似公式及其误差来源。
  • 能用微分近似计算 a+hn\sqrt[n]{a+h}、sin⁡(π/6+ε)\sin(\pi/6+\varepsilon) 等常见近似问题。
  • 了解常用近似公式（x→0x\to 0 时）：(1+x)α≈1+αx(1+x)^\alpha\approx 1+\alpha x、ex≈1+xe^x\approx 1+x、ln⁡(1+x)≈x\ln(1+x)\approx x 等。
由微分定义，当 ∣Δx∣|\Delta x| 很小时 Δy≈dy=f′(x0)Δx\Delta y\approx \mathrm{d}y=f'(x_0)\Delta x，故 f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δxf(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x。这是用切线近似曲线：在 x0x_0 附近，曲线和切线的差是 o(Δx)o(\Delta x)，即高阶无穷小。常用近似（x→0x\to 0）：(1+x)α≈1+αx(1+x)^\alpha\approx 1+\alpha x；ex≈1+xe^x\approx 1+x；ln⁡(1+x)≈x\ln(1+x)\approx x；sin⁡x≈x\sin x\approx x；tan⁡x≈x\tan x\approx x；1−cos⁡x≈x2/21-\cos x\approx x^2/2。这些实际上就是等价无穷小的重新叙述，也是泰勒展开（下一章）的一阶版本。误差：近似的绝对误差是 ∣Δy−dy∣=∣o(Δx)∣|\Delta y-\mathrm{d}y|=|o(\Delta x)|，当 Δx\Delta x 足够小时可以控制；但若需要更精确的估计，需用泰勒公式的余项。

练习

1 题
未学