数学分析

同步精读工作台

讲义 · 追问 · 练习 · 批改

第 15 章草稿

傅里叶级数

3 个知识点

当前知识点

Fourier 级数的收敛定理

本节你将掌握

  • 掌握 Dirichlet 收敛定理（逐段光滑条件）
  • 理解 Fourier 级数在连续点和不连续点处的收敛行为
  • 掌握 Parseval 等式及其应用（求数项级数的和）
**Dirichlet 收敛定理**：若 ff 在 [−π,π][-\pi,\pi] 上**逐段光滑**（即 ff 和 f′f' 除有限个点外连续，各单侧极限存在），则 ff 的 Fourier 级数收敛，且
a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)=f(x+)+f(x−)2.\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)=\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}.

- **连续点** xx：级数收敛到 f(x)f(x)（即 (f(x+)+f(x−))/2=f(x)(f(x^+)+f(x^-))/2=f(x)）。
- **跳跃不连续点** xx：级数收敛到左右极限的均值 (f(x+)+f(x−))/2(f(x^+)+f(x^-))/2。
- **端点** x=±πx=\pm\pi：级数收敛到 (f(−π+)+f(π−))/2(f(-\pi^+)+f(\pi^-))/2（周期延拓后的端点值）。
**Gibbs 现象**：在跳跃不连续点附近，Fourier 级数的部分和出现约 9%9\% 的超调（过冲），不随项数增加而消失——这是 Fourier 近似的固有局限。
**Parseval 等式**：若 ff 在 [−π,π][-\pi,\pi] 上满足 Dirichlet 条件，则
a022+∑n=1∞(an2+bn2)=1π∫−ππ[f(x)]2 dx.\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi[f(x)]^2\,\mathrm{d}x.

**应用**：若 f(x)=xf(x)=x（x∈[−π,π]x\in[-\pi,\pi]），则 bn=(−1)n+1⋅2/nb_n=(-1)^{n+1}\cdot 2/n，Parseval 等式给出 ∑4/n2=π2/3\sum 4/n^2=\pi^2/3，即 ∑1/n2=π2/6\sum 1/n^2=\pi^2/6（Basel 问题另一证明）。

练习

3 题
未学