数学分析

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第 15 章草稿

傅里叶级数

3 个知识点

当前知识点

以 $2l$ 为周期的 Fourier 展开

本节你将掌握

  • 掌握周期为 2l2l 的函数的 Fourier 系数公式
  • 掌握在 [0,l][0,l] 上定义的函数展开为正弦/余弦级数（奇/偶延拓）
  • 能灵活处理不同区间和不同周期的 Fourier 展开
**周期 2l2l 的展开**：令 t=πx/lt=\pi x/l，则 f(x)=F(t)f(x)=F(t)（t∈[−π,π]t\in[-\pi,\pi]）。对应 Fourier 系数：
a0=1l∫−llf(x) dx,an=1l∫−llf(x)cos⁡nπxl dx,bn=1l∫−llf(x)sin⁡nπxl dx,a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\,\mathrm{d}x,\quad a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,\mathrm{d}x,\quad b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,\mathrm{d}x,

级数为 a02+∑n=1∞(ancos⁡nπxl+bnsin⁡nπxl)\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right)。
**[0,l][0,l] 上的正弦/余弦展开**：设 ff 仅在 [0,l][0,l] 上定义。
- **余弦级数**（偶延拓）：将 ff 偶延拓到 [−l,l][-l,l]，bn=0b_n=0，an=2l∫0lf(x)cos⁡nπxl dxa_n=\frac{2}{l}\int_0^l f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,\mathrm{d}x。
- **正弦级数**（奇延拓）：将 ff 奇延拓到 [−l,l][-l,l]，an=0a_n=0，bn=2l∫0lf(x)sin⁡nπxl dxb_n=\frac{2}{l}\int_0^l f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,\mathrm{d}x。
在端点 x=0x=0 和 x=lx=l：正弦级数端点值为 00（奇延拓跳跃到均值 (f(0+)+f(0−))/2=0(f(0^+)+f(0^-))/2=0）；余弦级数端点值为 f(0)f(0)（如 ff 连续）。
**工程背景**：热传导、波动方程的边界条件（Dirichlet 边界 u=0u=0 对应正弦展开，Neumann 边界 u′=0u'=0 对应余弦展开）。

练习

3 题
未学