函数极限

函数极限研究的是一种“趋近”：当自变量 $x$ 沿着某种方式靠近目标 $x_0$ 时，函数值 $f(x)$ 是否稳定地靠近某个定值 $A$。这里有两条独立的“趋近”要分清：一条是自变量怎么趋近 $x_0$（左边、右边、还是双侧），另一条是函数值趋近的结果 $A$。关键约定是：讨论 $x\to x_0$ 时，我们只看 $x$ 在 $x_0$ 附近、但 $x\ne x_0$ 的行为，因此 $f$ 在 $x_0$ 处是否有定义、取值多少，都不影响极限。

与数列极限相比，函数极限多了一个自由度：$x$ 可以从无穷多个方向趋近 $x_0$（左侧、右侧，乃至沿某条曲线），因此后面需要单侧极限和归结原则来刻画「所有趋近方式是否给出同一结果」。初学阶段先抓住 $x$ 沿实轴双侧趋近 $x_0$ 的情形即可。

典型例子是 $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$：在 $x=1$ 处分母为零、函数无定义，但在 $x\ne 1$ 时 $f(x)=x+1$，故 $\lim_{x\to 1}f(x)=2$。若人为定义 $f(1)=0$，极限仍是 $2$——极限描述的是趋近过程的结果，不是某一点的取值。这正是极限比「代入求值」更精细、也更实用的原因。