函数极限

ε-δ 定义把「$x$ 靠近 $x_0$ 时 $f(x)$ 靠近 $A$」翻译成不等式语言：对任意给定的精度 $\varepsilon>0$，都存在一个靠近程度 $\delta>0$，使得只要 $0<|x-x_0|<\delta$，就有 $|f(x)-A|<\varepsilon$。其中 $\varepsilon$ 是对函数值精度的任意要求，由对方先给出；$\delta$ 是我们为达到该精度而找到的、对自变量的限制，通常 $\varepsilon$ 越小所需的 $\delta$ 越小。量词顺序不可交换：先有任意 $\varepsilon$，再找与之匹配的 $\delta$。

等价地，$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$ 也可说成：对 $A$ 的任意 $\varepsilon$ 邻域 $U(A;\varepsilon)$，存在 $x_0$ 的某去心 $\delta$ 邻域，使其中所有 $x$ 的像 $f(x)$ 都落在 $U(A;\varepsilon)$ 内。几何上就是：先固定 $y$ 轴上以 $A$ 为中心的 $\varepsilon$ 带，再在 $x$ 轴上找到足够窄的去心区间，使函数图像整体落入该带。

它与数列极限的 ε-N 定义结构完全平行：$\varepsilon$ 对应 $\varepsilon$，$\delta$ 对应「从某一项号 $N$ 之后」。证明 $\lim_{x\to 2}(3x+1)=7$ 时，由 $|(3x+1)-7|=3|x-2|<\varepsilon$ 只需 $|x-2|<\varepsilon/3$，故取 $\delta=\varepsilon/3$ 即可；对 $x^2$ 等非线性函数，常需先限定 $\delta\le 1$ 再估计 $|f(x)-A|$。