函数极限

有些函数在一点两侧的行为不同，需要分别考察。左极限只让 $x$ 从小于 $x_0$ 的一侧趋近（记 $x\to x_0^-$，即 $x_0-\delta<x<x_0$），右极限只让 $x$ 从大于 $x_0$ 的一侧趋近（$x\to x_0^+$）。双侧极限存在的充要条件是左、右极限都存在且相等：$\lim_{x\to x_0}f(x)=A\iff f(x_0^-)=f(x_0^+)=A$。

单侧极限的 ε-δ 写法与双侧类似，只是把自变量限制在一侧：右极限要求 $x_0<x<x_0+\delta$，左极限要求 $x_0-\delta<x<x_0$。证明双侧极限时，常分别对两侧取 $\delta_1,\delta_2$，再令 $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$ 合并。

典型例子是 $f(x)=\dfrac{|x|}{x}$（$x\ne 0$）：$x>0$ 时 $f(x)=1$，故 $f(0^+)=1$；$x<0$ 时 $f(x)=-1$，故 $f(0^-)=-1$，二者不等，双侧极限不存在。分段函数在分界点处必须分别算左右极限，再判断能否「无缝衔接」。单侧极限是分析跳跃间断、分段定义衔接的基本工具。