函数极限

把趋近目标从有限点推广到无穷，有两类情况。第一类是自变量趋于无穷：$\lim_{x\to+\infty}f(x)=A$ 指对任给 $\varepsilon>0$ 存在 $M>0$，使 $x>M$ 时 $|f(x)-A|<\varepsilon$；这里用「$x>M$ 足够大」代替了去心邻域。$x\to-\infty$ 时把条件换成 $x<-M$ 即可。第二类是函数值趋于无穷：$\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty$ 指对任给 $G>0$ 存在 $\delta>0$，使 $0<|x-x_0|<\delta$ 时 $f(x)>G$。

两类情形在几何上分别对应水平渐近线与竖直渐近线：$\lim_{x\to+\infty}f(x)=A$ 意味着 $y=A$ 是右端的水平渐近线；$\lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty$ 意味着 $x=x_0$ 是竖直渐近线。常见组合如 $\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0$、$\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty$、$\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty$。

务必区分两个概念：「极限为无穷」描述一种确定的发散趋势（函数值无界增大或减小），而分析教材里「极限存在」特指趋于某个有限常数。因此 $\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}$ 在双侧意义下不存在（左右极限分别为 $\pm\infty$），但单侧的无穷极限仍可精确刻画。