函数极限

函数极限与数列极限共享一整套性质，证明思路也平行。唯一性：极限若存在必唯一（反证法取 $\varepsilon=|A-B|/2$）。局部有界性：若 $\lim_{x\to x_0}f(x)=A$，则 $f$ 在 $x_0$ 的某去心邻域上有界——取 $\varepsilon=1$ 得 $|f(x)|<|A|+1$，再与有限个靠近 $x_0$ 的项合并取界。局部保号性：若 $A>0$，则在某去心邻域内 $f(x)>0$（$A<0$ 对称）；注意「局部」二字不可省。

四则运算法则是计算的主力：当 $\lim f=A$、$\lim g=B$ 时，$\lim(f\pm g)=A\pm B$，$\lim(fg)=AB$，$B\ne 0$ 时 $\lim\frac{f}{g}=\frac{A}{B}$。商法则要求分母极限非零；若分母趋于 $0$，需另作分析。迫敛性（夹逼）：若在 $x_0$ 的去心邻域上 $g(x)\le f(x)\le h(x)$ 且 $\lim g=\lim h=A$，则 $\lim f=A$；两边必须趋于同一有限极限。

这些性质的证明只需把数列极限相应证明里的「$n>N$」换成「$0<|x-x_0|<\delta$」，或借助归结原则直接化归。实际计算时，先把复杂式拆成基本极限的四则组合，再对含 $\sin x$、$1-\cos x$ 等因子考虑夹逼或等价无穷小。