函数极限

归结原则（Heine 定理）建立了函数极限与数列极限的桥梁：$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$ 成立，当且仅当对每一个满足 $x_n\to x_0$ 且 $x_n\ne x_0$ 的数列 $\{x_n\}$，都有 $f(x_n)\to A$。必要性：由 ε-δ 定义，对任意趋于 $x_0$ 的数列，从某一项起 $|x_n-x_0|<\delta$，故 $|f(x_n)-A|<\varepsilon$。充分性用反证：若函数极限不为 $A$，可构造 $x_n\to x_0$ 使 $|f(x_n)-A|$ 有下界。

它有两个重要用途：其一，把数列极限的全部工具（四则运算、单调有界、子列方法等）直接迁移到函数极限；其二，提供证明函数极限不存在的标准武器——找到两个都趋于 $x_0$ 的数列，使 $f$ 沿它们趋于不同值即可。注意是「对每一个」数列，而非「存在一个」；只用一个数列验证绝不能断定极限存在。

经典例子：$f(x)=\sin\frac{1}{x}$ 在 $x\to 0$ 时，取 $x_n=\frac{1}{n\pi}\to 0$ 得 $f(x_n)=0$，取 $x_n'=\frac{1}{2n\pi+\pi/2}\to 0$ 得 $f(x_n')=1$，两列极限不同，故极限不存在。构造数列时务必保证 $x_n\ne x_0$ 且 $x_n\to x_0$。