函数极限

两个重要极限是后续计算的基石。第一个 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$，几何上来自单位圆中 $\sin x<x<\tan x$（$0<x<\pi/2$）的长度比较，再用夹逼定理得到；它给出 $x\to 0$ 时 $\sin x\sim x$ 的等价关系。使用时必须把分子分母的角变量凑成同一变量：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x}=3\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{3x}=3$。

第二个 $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$，是数列极限 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\to e$ 向连续变量的推广，并有等价形式 $\lim_{t\to 0}(1+t)^{1/t}=e$。凑形时指数与括号内的增量必须匹配：$\left(1+\frac{2}{x}\right)^x=\left[\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x/2}\right]^2\to e^2$。

两个极限都依赖弧度制；在角度制下 $\sin x\sim x$ 不成立。实际解题的统一手法是：先识别属于哪一类，再通过换元把式子化为 $\frac{\sin\square}{\square}$ 或 $(1+\square)^{1/\square}$ 的标准形，最后套用极限值 $1$ 或 $e$。