函数极限

在某趋近过程下极限为 $0$ 的变量称为无穷小量，极限为 $\infty$ 的称为无穷大量；在同一过程里，非零无穷小量的倒数是无穷大量，反之亦然。无穷小量不是「很小的数」，而是随趋近过程变化、最终趋于 $0$ 的变量。

比较两个无穷小量 $\alpha,\beta$（$\beta\ne 0$）看比值 $\lim\frac{\alpha}{\beta}$：极限为 $0$ 称 $\alpha$ 是 $\beta$ 的高阶无穷小（记 $\alpha=o(\beta)$）；为非零常数称同阶；特别地极限为 $1$ 称等价，记 $\alpha\sim\beta$。$x\to 0$ 时常用等价：$\sin x\sim x$、$\tan x\sim x$、$1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}$、$\ln(1+x)\sim x$、$e^x-1\sim x$。

等价代换能简化乘除型极限，但只可对乘除因子整体替换；对加减项中的部分直接替换可能出错。例如 $\tan x-\sin x$ 不能把两项各自换成 $x$ 而得 $0$——应先提取 $\sin x$ 再对剩余因子代换，正确极限为 $\frac{1}{2}$（$x^3$ 阶）。判断阶时，计算 $\lim\frac{\alpha}{\beta}$ 是最可靠的方法。