数学分析

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第 13 章草稿

函数列与函数项级数

2 个知识点

当前知识点

一致收敛的概念

本节你将掌握

  • 理解函数列逐点收敛与一致收敛的区别
  • 掌握 Mn=sup⁡x∈I∣fn(x)−f(x)∣→0M_n = \sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|\to 0 的等价刻画
  • 能用定义证明或否定一致收敛
  • 了解函数项级数的一致收敛（Weierstrass M-判别法）
**逐点收敛**：函数列 {fn}\{f_n\} 在集合 II 上**逐点收敛**于 ff，若对每个 x∈Ix\in I，lim⁡n→∞fn(x)=f(x)\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)。这里 NN 可以依赖于 xx，写作 N=N(ε,x)N=N(\varepsilon,x)。
**一致收敛**：{fn}\{f_n\} 在 II 上**一致收敛**于 ff（记 fn⇉ff_n\rightrightarrows f），若：
∀ε>0,  ∃N∈N,  ∀n>N,  ∀x∈I:  ∣fn(x)−f(x)∣<ε.\forall\varepsilon>0,\;\exists N\in\mathbb{N},\;\forall n>N,\;\forall x\in I:\;|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon.

关键：NN 只依赖于 ε\varepsilon，不依赖于 xx。
**等价刻画**：fn⇉ff_n\rightrightarrows f ⇔\Leftrightarrow Mn:=sup⁡x∈I∣fn(x)−f(x)∣→0M_n:=\sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|\to 0（n→∞n\to\infty）。
**否定一致收敛**：若 ∃ε0>0\exists\varepsilon_0>0，对任意 NN，∃n>N\exists n>N，∃xn∈I\exists x_n\in I 使 ∣fn(xn)−f(x)∣≥ε0|f_n(x_n)-f(x)|\geq\varepsilon_0，则 fn⇉̸ff_n\not\rightrightarrows f。
**典型例子**：fn(x)=xnf_n(x)=x^n 在 [0,1)[0,1) 上逐点收敛于 f≡0f\equiv 0，但不一致收敛（Mn=sup⁡x∈[0,1)xn=1↛0M_n=\sup_{x\in[0,1)}x^n=1\not\to 0）。在 [0,r][0,r]（0<r<10<r<1）上一致收敛（Mn=rn→0M_n=r^n\to 0）。
**Cauchy 准则（一致收敛）**：{fn}\{f_n\} 在 II 上一致收敛 ⇔\Leftrightarrow ∀ε>0\forall\varepsilon>0，∃N\exists N，m,n>N⇒sup⁡x∈I∣fm(x)−fn(x)∣<εm,n>N\Rightarrow\sup_{x\in I}|f_m(x)-f_n(x)|<\varepsilon。
**函数项级数**：∑n=1∞un(x)\sum_{n=1}^\infty u_n(x) 一致收敛 ⇔\Leftrightarrow 部分和函数列 {SN(x)}\{S_N(x)\} 一致收敛。
**Weierstrass M-判别法**：若 ∣un(x)∣≤Mn|u_n(x)|\leq M_n（∀x∈I\forall x\in I），∑Mn\sum M_n 收敛，则 ∑un(x)\sum u_n(x) 在 II 上一致（绝对）收敛。

练习

4 题
未学