数学分析

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第 13 章草稿

函数列与函数项级数

2 个知识点

当前知识点

一致收敛的性质

本节你将掌握

  • 掌握一致收敛保持连续性的定理
  • 掌握一致收敛函数列的逐项积分定理
  • 理解逐项微分定理（需额外条件）
  • 能判断极限与积分/微分的交换是否合法
**连续性**：若 fn∈C(I)f_n\in C(I)，fn⇉ff_n\rightrightarrows f 在 II 上，则 f∈C(I)f\in C(I)。即：连续函数序列的一致极限仍连续。（逐点收敛不保证连续性：xnx^n 的极限在 [0,1][0,1] 上不连续。）
**逐项积分**：若 fn∈C[a,b]f_n\in C[a,b]，fn⇉ff_n\rightrightarrows f 在 [a,b][a,b] 上，则
lim⁡n→∞∫abfn(x) dx=∫abf(x) dx（极限与积分可交换）\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\quad\text{（极限与积分可交换）}

即 ∫ablim⁡n→∞fn dx=lim⁡n→∞∫abfn dx\int_a^b\lim_{n\to\infty}f_n\,\mathrm{d}x=\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n\,\mathrm{d}x。
推论：一致收敛的函数项级数可逐项积分：∫ab∑un=∑∫abun\int_a^b\sum u_n=\sum\int_a^b u_n。
**逐项微分**（条件更强）：若 fnf_n 在 [a,b][a,b] 上可微，fn′f_n' 在 [a,b][a,b] 上一致收敛，且 {fn(x0)}\{f_n(x_0)\} 对某个 x0x_0 收敛，则 fn⇉ff_n\rightrightarrows f（某 ff），且 f′=lim⁡fn′f'=\lim f_n'。即：ddxlim⁡fn=lim⁡dfndx\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\lim f_n=\lim\frac{\mathrm{d}f_n}{\mathrm{d}x} 需要导函数列一致收敛。
**典型应用**：幂级数 ∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^\infty a_n x^n 在收敛半径内的任意闭子区间上一致收敛，故可逐项积分和微分（幂级数章节的基础）。

练习

5 题
未学