数学分析

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第 18 章草稿

隐函数定理及其应用

4 个知识点

当前知识点

隐函数定理

本节你将掌握

  • 掌握隐函数存在唯一性定理（一个方程的情形）
  • 理解隐函数定理的条件和结论
  • 能用隐函数定理求偏导数
**隐函数定理（一个方程）**：设 F(x0,y0)=0F(x_0,y_0)=0，在 (x0,y0)(x_0,y_0) 的邻域内 Fx,FyF_x,F_y 连续，且 Fy(x0,y0)≠0F_y(x_0,y_0)\neq 0，则：
1. 在 x0x_0 的某邻域 II 内存在唯一的连续函数 y=f(x)y=f(x)，使 F(x,f(x))=0F(x,f(x))=0，f(x0)=y0f(x_0)=y_0。
2. ff 在 II 内有连续导数：f′(x)=−Fx/Fyf'(x)=-F_x/F_y。
**三元情形**：F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0，Fz(P0)≠0F_z(P_0)\neq 0，则局部确定 z=f(x,y)z=f(x,y)，
∂z∂x=−FxFz,∂z∂y=−FyFz.\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\quad\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}.

**理解要点**：定理是**存在性**定理（保证局部存在），不给出全局的显式 y=f(x)y=f(x)。条件 Fy≠0F_y\neq 0 防止"切线竖直"（曲线 F=0F=0 在该点局部有单值图象）。
**一阶近似**：在 (x0,y0)(x_0,y_0) 附近，隐函数 y≈y0−Fx(x0,y0)Fy(x0,y0)(x−x0)y\approx y_0-\frac{F_x(x_0,y_0)}{F_y(x_0,y_0)}(x-x_0)（线性近似）。

练习

2 题
未学