第 18 章草稿

隐函数定理及其应用

4 个知识点

当前知识点

方程组确定的隐函数

本节你将掌握

掌握由方程组确定隐函数的条件（Jacobi 行列式）
能用 Jacobi 矩阵方法求偏导数
理解 Jacobi 行列式与变量变换的关系

**方程组隐函数定理**：设方程组

\begin{cases}F(x,y,u,v)=0\\G(x,y,u,v)=0\end{cases}

，在

P_0=(x_0,y_0,u_0,v_0)

处满足

F,G,F_u,F_v,G_u,G_v

连续，且 **Jacobi 行列式**

J=\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{vmatrix}\neq 0,

则在

P_0

邻域内唯一确定可微函数

u=u(x,y),v=v(x,y)

，且

\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J}\begin{vmatrix}F_x&F_v\\G_x&G_v\end{vmatrix},\quad\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J}\begin{vmatrix}F_u&F_x\\G_u&G_x\end{vmatrix}.

（Cramer 法则替换对应列。）
**实用方法（全微分法）**：两方程分别求全微分，得含

\mathrm{d}u,\mathrm{d}v

的线性方程组，用 Cramer 法则或消元法解出。
**Jacobi 矩阵**：

J_f=\partial(f_1,\ldots,f_m)/\partial(x_1,\ldots,x_n)

，是链式法则和变量变换的核心工具。

练习

1 题

未学