数学分析 · 同步精读工作台

当前知识点

隐函数定理的几何应用

本节你将掌握

**平面曲线

F(x,y)=0

的切线/法线（

(x_0,y_0)

处）：**
- 切线方向：

(1,-F_x/F_y)

（若

F_y\neq 0

），即斜率

k=-F_x/F_y

。
- 切线方程：

F_x(x_0,y_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0)(y-y_0)=0

。
- 法线：斜率为

F_y/F_x

，方向为

(F_x,F_y)=\nabla F

（梯度方向）。
**空间曲面

F(x,y,z)=0

在

(x_0,y_0,z_0)

处：**
- **法向量**：

\boldsymbol{n}=(F_x,F_y,F_z)

（梯度向量）。
- **切平面**：

F_x(x-x_0)+F_y(y-y_0)+F_z(z-z_0)=0

。
- **法线**：

\dfrac{x-x_0}{F_x}=\dfrac{y-y_0}{F_y}=\dfrac{z-z_0}{F_z}

。
**空间曲线**（参数式

\boldsymbol{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))

在

t_0

处）：
- 切向量：

\boldsymbol{r}'(t_0)=(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))

。
- 切线：

\dfrac{x-x_0}{x'}=\dfrac{y-y_0}{y'}=\dfrac{z-z_0}{z'}

。
- 法平面：

x'(x-x_0)+y'(y-y_0)+z'(z-z_0)=0

（过

P_0

，垂直切向量）。
**曲线由方程组确定**

F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0

：切向量

=\nabla F\times\nabla G

（两曲面法向量的叉积）。