数学分析

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第 18 章草稿

隐函数定理及其应用

4 个知识点

当前知识点

条件极值与 Lagrange 乘数法

本节你将掌握

  • 理解条件极值的概念和与无条件极值的区别
  • 掌握 Lagrange 乘数法
  • 能将实际优化问题建模并求解
**条件极值**：求 f(x,y)f(x,y) 在约束 g(x,y)=0g(x,y)=0 下的极值。
**几何直觉**：极值点处，∇f\nabla f 与 ∇g\nabla g（约束曲线法向量）平行（即 ff 的等值线与约束曲线相切）。
**Lagrange 乘数法**：引入参数 λ\lambda（Lagrange 乘子），极值点满足
∇f=λ∇g,g(x,y)=0,\nabla f=\lambda\nabla g,\quad g(x,y)=0,

即三个方程：fx=λgxf_x=\lambda g_x，fy=λgyf_y=\lambda g_y，g=0g=0。
**多约束推广**：两约束 g1=0,g2=0g_1=0,g_2=0，引入两乘子 λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2：∇f=λ1∇g1+λ2∇g2\nabla f=\lambda_1\nabla g_1+\lambda_2\nabla g_2。
**实际判断极值**：Lagrange 方程的解是**候选极值点**，需比较所有候选点的函数值，最大/最小值即为极值（若问题有界则最值一定取到）。
**典型应用**：等周问题（给定周长求最大面积），最短距离，椭圆上的极值，生产计划优化。

练习

3 题
未学