数学分析

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第 11 章草稿

反常积分

3 个知识点

当前知识点

反常积分的收敛判别法

本节你将掌握

  • 掌握比较判别法（直接比较和极限比较）
  • 了解 Dirichlet 判别法和 Abel 判别法（条件收敛型）
  • 理解绝对收敛与条件收敛的关系
  • 能综合运用各判别法判断反常积分的收敛性
**正值函数的比较判别法**：设 0≤f(x)≤g(x)0\leq f(x)\leq g(x)，x≥ax\geq a。
- 若 ∫a+∞g\int_a^{+\infty}g 收敛，则 ∫a+∞f\int_a^{+\infty}f 收敛。
- 若 ∫a+∞f\int_a^{+\infty}f 发散，则 ∫a+∞g\int_a^{+\infty}g 发散。
**极限比较判别法**：设 f,g≥0f,g\geq 0，lim⁡x→+∞f(x)g(x)=L\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L。
- 0<L<+∞0<L<+\infty：∫f\int f 与 ∫g\int g 同敛散。
- L=0L=0：∫g\int g 收敛 ⇒\Rightarrow ∫f\int f 收敛。
- L=+∞L=+\infty：∫g\int g 发散 ⇒\Rightarrow ∫f\int f 发散。
常用参考：∫1+∞x−p\int_1^{+\infty}x^{-p} 及 ∫01x−p\int_0^1 x^{-p}（pp 积分）。
**Dirichlet 判别法**：∫a+∞f(x)g(x) dx\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\,\mathrm{d}x 收敛，若：F(x)=∫axf(t) dtF(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t 有界，且 g(x)g(x) 单调趋于零。
**Abel 判别法**：∫a+∞f(x)g(x) dx\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\,\mathrm{d}x 收敛，若：∫a+∞f\int_a^{+\infty}f 收敛，且 g(x)g(x) 单调有界。
典型：∫1+∞sin⁡xx dx\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x 收敛（Dirichlet：∣∫sin⁡∣≤2|\int\sin|\leq 2，1/x↓01/x\downarrow 0），但 ∫1+∞∣sin⁡xx∣ dx\int_1^{+\infty}\left|\frac{\sin x}{x}\right|\,\mathrm{d}x 发散（条件收敛）。

练习

4 题
未学