数学分析

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第 11 章草稿

反常积分

3 个知识点

当前知识点

Gamma 函数与重要反常积分

本节你将掌握

  • 了解 Gamma 函数 Γ(s)=∫0+∞xs−1e−x dx\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}\,\mathrm{d}x 的定义和收敛性
  • 掌握 Γ(n+1)=n!\Gamma(n+1)=n! 和递推关系 Γ(s+1)=sΓ(s)\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)
  • 了解 Gaussian 积分 ∫0+∞e−x2 dx=π2\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}（结论，证明不要求）
**Gamma 函数**：Γ(s)=∫0+∞xs−1e−x dx\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}\,\mathrm{d}x（s>0s>0）。
该积分在 x=0x=0 处可能为瑕积分（s<1s<1 时），在 x→+∞x\to+\infty 时为无穷限积分，需验证两端均收敛（s>0s>0）。
**递推公式**：Γ(s+1)=sΓ(s)\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)（用分部积分：∫0∞xse−x dx\int_0^\infty x^s e^{-x}\,\mathrm{d}x，令 u=xsu=x^s，dv=e−x dx\mathrm{d}v=e^{-x}\,\mathrm{d}x）。
**特殊值**：
- Γ(1)=∫0∞e−x dx=1\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-x}\,\mathrm{d}x=1
- 由递推：Γ(n+1)=n!\Gamma(n+1)=n!（n∈Nn\in\mathbb{N}），故 Gamma 函数是阶乘的连续推广
- Γ(1/2)=π\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}（需用 Gaussian 积分），从而 Γ(3/2)=12Γ(1/2)=π2\Gamma(3/2)=\frac{1}{2}\Gamma(1/2)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
**Gaussian 积分**（结论）：∫0+∞e−x2 dx=π2\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}（令 x2=tx^2=t 化为 12Γ(1/2)=π2\frac{1}{2}\Gamma(1/2)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}）。完整证明需要重积分，在二重积分章节再给出。

练习

2 题
未学