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第 8 章草稿

不定积分

不定积分是导数的逆运算，也是下一章定积分计算的算法工具箱。本章先建立原函数（不定积分）的概念和基本性质，给出一张基本积分公式表；再系统讲授两种核心积分技法：换元积分法（用拼凑或正弦/有理式换元化简被积函数）和分部积分法（$\\int u\\,\\mathrm{d}v=uv-\\int v\\,\\mathrm{d}u$，适合乘积形式的被积函数）；最后讨论有理函数的部分分式分解，以及三角函数有理式和无理函数积分的有理化技巧。讲义、例子与题面均为自编或充分改写，公式用 LaTeX（四反斜线约定）。

4 个知识点

当前知识点

换元积分法

本节你将掌握

  • 掌握第一类换元法（凑微分法）：识别形如 ∫f(g(x))g′(x) dx\int f(g(x))g'(x)\,\mathrm{d}x 的积分，令 u=g(x)u=g(x)。
  • 掌握第二类换元法：通过令 x=φ(t)x=\varphi(t) 换入参数 tt，化简被积函数，积完后换回。
  • 能对常见类型（含根号、三角换元、倒代换）选择合适的换元方式。
**第一类换元法**（凑微分）：利用复合函数微分 d[g(x)]=g′(x) dx\mathrm{d}[g(x)]=g'(x)\,\mathrm{d}x，把 ∫f(g(x))g′(x) dx\int f(g(x))g'(x)\,\mathrm{d}x 改写为 ∫f(u) du\int f(u)\,\mathrm{d}u（令 u=g(x)u=g(x)），积完后把 uu 换回 g(x)g(x)。这是链式法则的逆运用。例如 ∫2xex2 dx=∫ex2 d(x2)=ex2+C\int 2xe^{x^2}\,\mathrm{d}x=\int e^{x^2}\,\mathrm{d}(x^2)=e^{x^2}+C。关键：认识被积式中哪一个因子是另一个函数的导数，」凑」出对应的微分。**第二类换元法**：当被积函数含 a2−x2\sqrt{a^2-x^2} 时令 x=asin⁡tx=a\sin t；含 a2+x2\sqrt{a^2+x^2} 时令 x=atan⁡tx=a\tan t；含 x2−a2\sqrt{x^2-a^2} 时令 x=asec⁡tx=a\sec t——这类三角换元利用勾股恒等式消去根号。倒代换 x=1/tx=1/t 适合含 1/xn1/x^n 的被积函数。换元后需把结果中的 tt 换回原变量 xx（利用反三角函数或直角三角形辅图）。

练习

2 题
未学