第 8 章草稿

不定积分

不定积分是导数的逆运算，也是下一章定积分计算的算法工具箱。本章先建立原函数（不定积分）的概念和基本性质，给出一张基本积分公式表；再系统讲授两种核心积分技法：换元积分法（用拼凑或正弦/有理式换元化简被积函数）和分部积分法（$\\int u\\,\\mathrm{d}v=uv-\\int v\\,\\mathrm{d}u$，适合乘积形式的被积函数）；最后讨论有理函数的部分分式分解，以及三角函数有理式和无理函数积分的有理化技巧。讲义、例子与题面均为自编或充分改写，公式用 LaTeX（四反斜线约定）。

4 个知识点

当前知识点

分部积分法

本节你将掌握

掌握分部积分公式： $\int u\,\mathrm{d}v=uv-\int v\,\mathrm{d}u$ 。
能识别适合分部积分的被积函数形式（乘积：多项式×超越函数）并合理选取 $u$ 和 $\mathrm{d}v$ 。
能处理需要多次分部或循环出现原积分的情形。

分部积分来自乘积的导数：

(uv)'=u'v+uv'

，即

u\,\mathrm{d}v=(uv)'-v\,\mathrm{d}u/\mathrm{d}x

……积分后得

\int u\,\mathrm{d}v=uv-\int v\,\mathrm{d}u

。关键是合理选

u

和

\mathrm{d}v

：好的选法让

\int v\,\mathrm{d}u

比原积分更容易。选

u

的经验法则（」LIATE「顺序）：对数函数 > 反三角函数 > 代数（多项式）> 三角函数 > 指数函数——排在前面的更适合作

u

。例如

\int x e^x\,\mathrm{d}x

：取

u=x

，

\mathrm{d}v=e^x\,\mathrm{d}x

，则

v=e^x

，得

xe^x-\int e^x\,\mathrm{d}x=xe^x-e^x+C

。**循环积分**：

\int e^x\sin x\,\mathrm{d}x

两次分部后出现原积分，把它移到左边解方程。**递推公式**：

\int x^n e^x\,\mathrm{d}x=x^n e^x-n\int x^{n-1}e^x\,\mathrm{d}x

给出降次递推。

练习

2 题

未学

分部积分法

思考题 · 检验理解